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二叉树

二叉树是一种更为典型的树树状结构。如它名字所描述的那样，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构，通常子树被称作“左子树”和“右子树”。下面是个二叉树的例子：

用python定义二叉树的节点：

# 二叉树节点
class TreeNode:
    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.left = None
        self.right = None

二叉树遍历

前序遍历

前序遍历访问的顺序为：根节点、左子树、右子树。对于上图，遍历过程如下：

一开始指向根节点，访问它，为E
有左子树，指向他并访问，为A
A没有左子树，指向其右子树并访问，为C
C有左子树和右子树，按顺序访问，为BD
E的左半边访问完毕，指向E的右子树并访问，为G
G只有右子树，访问它，为F
F往下已经没有叶子节点，遍历结束

因此，前序遍历的结果为：EACBDGF

中序遍历

中序遍历访问的顺序为：左子树、根节点、右子树。对于上图，遍历过程如下：

一开始指向根节点E，因为优先访问左子树，先看有没有左子树。发现根节点有左子树A，指向它
此时A有没有左子树，因此访问当前节点，为A
A有右子树，指向其右子树C
此节点C有左子树，指向其左子树B
此时节点没有子树，访问其节点为B
然后往回指向节点B的父节点，并访问，为C
C有右子树，访问，为D
此时指回根节点E，访问它，为E
E有右子树，指向右子树G
因为G没有左子树，因此访问当前节点，为G
G有右子树，访问，为F
F无子树，遍历结束

因此，中序遍历的结果为：ABCDEGF。通常来说，对于二叉搜索树，我们可以通过中序遍历得到一个递增的有序序列

后序遍历

后序遍历访问的顺序为：左子树、右子树、根节点。对于上图，遍历过程如下：

一开始指向根节点E，先指向左子树A
要优先访问左子树右子树，A无左子树、有右子树，因此指向A的右子树C
C有左子树，指向左子树B
B无子树，访问为B
指回C，C有右子树，指向并访问，为D
指回BD的根节点C，访问为C
指回C的根节点，访问为A
指回A的根节点E，访问其右子树G
G有右子树，访问为F
指回F的根节点，访问为G
指回G的根节点，访问为E
E已为整个树的根节点，遍历结束

因此，后序遍历的结果为：BDCAFGE。当你删除树中的节点时，用到后序遍历。也就是说，当你删除一个节点时，你将首先删除它的左节点和它的右边的节点，然后再删除节点本身。

层序遍历

层序遍历就是逐层遍历树结构，下图展示了它的层次结构：

二叉树的层序遍历即为广度优先搜索，该算法从一个根节点开始，首先访问节点本身。然后遍历它的相邻节点，其次遍历它的二级邻节点、三级邻节点，以此类推。广度优先搜索需要用到队列。遍历过程如下：

初始化队列q=[]，并将根节点E入队，为q=[E]
q出队，为E
E有左子树和右子树，两者入队，为q=[A, G]
q出队，为A，此时将A的右子树入队，为q=[G, C]
q出队，为G，此时G的右子树入队，为q=[C, F]
q出队，为C，此时C的左子树、右子树入队，为q=[F, B, D]
q出队，为F，此时q=[B, D]
F没有子树，q继续出队，为B，此时q=[D]
q出队，为D
q为空，遍历结束

因此，层序遍历的结果为：EAGCFBD。

程序实现

二叉树的前序、中序、后序和层序遍历，分别为leetcode的第144、94、145、102题，都可以用递归和迭代两种方法做。

递归实现

对于前序、中序和后序来说，递归的现实非常简单，他们的实现区别是根节点访问的顺序不一样。代码如下：

# 前序遍历递归
class Solution:
    def preorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:
        if not root:
            return []
        else:
            return [root.val] + self.preorderTraversal(root.left) + self.preorderTraversal(root.right)

# 中序遍历递归
class Solution:
    def inorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:
        if not root:
            return []
        else:
            return self.inorderTraversal(root.left) + [root.val] + self.inorderTraversal(root.right)

# 后序遍历递归
class Solution:
    def postorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:
        if not root:
            return []
        else:
            return self.postorderTraversal(root.left)  + self.postorderTraversal(root.right)+ [root.val]

可以看出不同的地方就是[root.val]的位置不一样，前序遍历[root.val]就在最一开始，中序遍历[root.val]则在中间，后序遍历[root.val]就在最后。整个迭代结构下图所示：

对于层序遍历的递归实现，我们不仅要输出层序遍历的序列，还要有每个元素属于哪个层次的信息，可以用列表嵌套的方式，比如之前的例子里，层序遍历表示为[[E], [AG], [CF], [BD]]。

# 层序遍历递归
class Solution:
    def levelOrder(self, root: TreeNode) -> List[List[int]]:
        levels = []
        if not root:
            return levels

        def helper(node, level):
            # start the current level
            if len(levels) == level:
                levels.append([])

            # append the current node value
            levels[level].append(node.val)

            # process child nodes for the next level
            if node.left:
                helper(node.left, level + 1)
            if node.right:
                helper(node.right, level + 1)

        helper(root, 0)
        return levels

我们设更节点的层级序号为0，依次往下为1、2、3……。leaves为保存结果的列表，每一层的结果又为一个列表，保存在leaves里，层级序号即为在leaves里的index，在第i层级，leaves里应该有i+1个列表，第i+1个列表为当前层级的节点。每个列表只append层级序号相同的节点。

迭代实现

二叉树的迭代实现都需要用到栈。对于前序、中序、后序遍历，他们的迭代实现大同小异：

# 前序遍历迭代
class Solution:        
    def preorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:
        if root is None:
            return []

        stack, output = [root, ], []
        while stack:
            root = stack.pop()
            if root is not None:
                output.append(root.val)
                if root.right is not None:
                    stack.append(root.right)
                if root.left is not None:
                    stack.append(root.left)

        return output

# 中序遍历迭代
class Solution:
    def inorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:
        if root is None:
            return []

        stack, output= [], []
        curr = root
        while curr or len(stack) > 0:
            while curr:
                stack.append(curr)
                curr = curr.left
            curr = stack.pop()
            output.append(curr.val)
            curr = curr.right
        return output

# 后序遍历迭代
class Solution:
    def postorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:
        if root is None:
            return []

        stack, output = [root, ], []
        while stack:
            root = stack.pop()
            output.append(root.val)
            if root.left is not None:
                stack.append(root.left)
            if root.right is not None:
                stack.append(root.right)

        return output[::-1]

对于前序遍历，先初始化一个有根节点的栈，然后进入循环，出栈根节点，访问它。然后依次入栈右子树、左子树（注意栈是先进后出）。则下次循环，会先出栈左子树，访问它，然后入栈它的右子树、左子树。这样根节点E的右子树会在其左子树遍历完后才会出栈。循环停止条件是栈为空。
对于中序遍历，因为要优先遍历左子树，循环之前初始化一个空栈，进入循环后，用一个内循环依次入栈左子树，直到叶子节点（也为一个左子树），然后退出内循环，出栈并访问。
对于后序遍历，和前序遍历的整体结构是一样的，唯一不同的是在循环里先入栈左子树，后入栈右子树，循环结束后将结果逆序。

对于层序遍历的迭代实现，循环之前初始化一个有根节点的队列，此时队列只有一个元素，进入循环后，出队并访问，然后将根节点的左右子树依次入队。下次循环，依次将上次队列里的元素出队，同队入队他们的左右子树。这样每次循环只出队当前层次的节点，并入队他们的左右子树，完成了层次之间的交换。这实际上是一种广度优先搜索。层序遍历迭代写法：

# 层序遍历迭代，使用栈
class Solution:
    def levelOrder(self, root: TreeNode) -> List[List[int]]:
        if root is None:
            return []
        q = [root]
        result = []
        while q:
            res = []
            for i in range(len(q)):
                node = q.pop(0)
                res.append(node.val)
                if node.left:
                    q.append(node.left)
                if node.right:
                    q.append(node.right)
            result.append(res)
        return result

# 层序遍历迭代，使用队列
from collections import deque
class Solution:
    def levelOrder(self, root: TreeNode) -> List[List[int]]:
        if root is None:
            return []

        res = []
        q = deque()
        q.append(root)
        while q:
            size = len(q)
            curr_level = []
            for _ in range(size):
                node = q.popleft()
                curr_level.append(node.val)
                if node.left:
                    q.append(node.left)
                if node.right:
                    q.append(node.right)
            res.append(curr_level)
        return res

例题

二叉树的最近公共祖先

此题为leetcode第236题

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

class Solution:
    def lowestCommonAncestor(self, root: 'TreeNode', p: 'TreeNode', q: 'TreeNode') -> 'TreeNode':
        # 树为空返回None
        if root is None:
            return None

        # 找到了p或q
        if root == p or root == q:
            return root

        # 在root的左子树找p或q
        left = self.lowestCommonAncestor(root.left, p, q)
        # 在root的右子树找p或q
        right = self.lowestCommonAncestor(root.right, p, q)

        if left is None:    # 如果左子树没有p或q，返回右孩子
            return right
        elif right is None: # 如果右子树没有p或q，返回左孩子
            return left
        else:               # 如果分别在左右子树找到了p或q，那么root就是最近公共祖先
            return root

总结

前序、中序、后序遍历的递归实现几乎一模一样，区别是根节点的访问位置不一样
前序、中序、后序的迭代实现需要借助栈
层序遍历的递归和迭代实现需要借助队列

访问统计

二叉树

二叉树遍历

前序遍历

中序遍历

后序遍历

层序遍历

程序实现

递归实现

迭代实现

例题

总结

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