相信大家对浩瀚的宇宙、漫天繁星都充满过极大的兴趣，我们对夜晚漫天眨眼的星星充满了无限的向往，在某个夏日夜晚里，我们也是那个“数星星的孩子”。在本文中，我们将使用变分自编码器（VAE）这项深度学习技术，生成星系的图片，生成我们的“星辰大海”。
一、变分自编码器
自编码器（AutoEncoder）是一种表示学习技术，是深度学习中的一个重要分支，也是无监督学习的重要技术之一。一个典型的自编码器结构如Figure1所示，包括两个主要部分：编码器（Encoder）和解码器（Decoder）。编码器将输入图像不断压缩，最后形成一个特征表示向量，而解码器用这个表示向量将原图片重构出来。学习过程是最小化输出与输入之间的差异，这个差异用一个损失函数表示，比如均方误差。自编码器起到了降维的作用，用一个低维的向量空间来表示原始的高维空间。
而变分自编码器是怎么回事呢？先看一下典型的变分自编码的结构，如图2所示。
看上去很复杂，在编码器和解码器之间已经不是那个简单的特征表示向量了。作为生成式模型，VAE和生成式对抗网络GAN比较相似：都是希望通过一个隐变量Z生成数据x，使生成数据的分布$p(x|z)$接近于真实分布$p(x)$。假设$z$服从某种分布，比如正态分布。GAN直接由Z生成数据，和真实数据进行对抗训练。而VAE直接从输入数据中学习这种分布。我们现在假设Z服从标准正态分布，它有两个参数，均值 $\boldsymbol \mu$ 和方差$\boldsymbol \sigma^2$。从图2中可看出，编码器就是来干这个事情的，它会拟合出均值$\boldsymbol \mu$和方差的对数$\log{\boldsymbol \sigma}^2$。这里不直接拟合${\boldsymbol \sigma}^2$是因为${\boldsymbol \sigma}^2$是非负的，需要加激活函数，而$\log{\boldsymbol \sigma}^2$就可正可负了，不需要加激活函数。
由于Z要从$\mathcal N(\boldsymbol \mu, {\boldsymbol \sigma}^2)$中采样，但这个采样的过程是不可导的，无法使用反向传播算法。对于这个问题，这里采用了reparameterization的技巧，即从$\mathcal N(\boldsymbol 0, \boldsymbol I)$中采样一个$\boldsymbol \epsilon$，然后令$\boldsymbol Z={\boldsymbol \sigma}^2 \times {\boldsymbol \epsilon} + \boldsymbol \mu$，这样Z依然服从$\mathcal N(\boldsymbol \mu, {\boldsymbol \sigma}^2)$，而这个过程是线性的，可以正常使用反向传播算法。
现在Z服从正态分布$\mathcal N(\boldsymbol \mu, {\boldsymbol \sigma}^2)$，为了使$Z$服从标准正态分布$\mathcal N(\boldsymbol 0, \boldsymbol I)$，我们将$\mathcal N(\boldsymbol \mu, {\boldsymbol \sigma}^2)$与$\mathcal N(\boldsymbol 0, \boldsymbol I)$的KL散度作为损失函数的一项，即正则化项，使$Z$趋向于标准正态分布。损失函数的另一项就是重构损失了，由于要使生成数据的分布$p(x|z)$接近于真实分布$p(x)$，所以这里使用两者的交叉熵损失作为重构损失。最后整个损失函数为：
那么说了这么多，VAE和普通的自编码器相比有什么优点呢？普通的自编码器更关注对原始数据的重构，生成的特征表示也是不连续的，那么如果从一片未学到的隐空间进行采样再进过解码器后，生成的数据可能是不真实的。而VAE学习到的是数据的分布，隐空间是连续的，可以从这个空间随意采样。下图是两个用VAE生成图片的例子。左边的图片是生成人脸，第一行从左往右看，人脸从朝右慢慢变成了朝左，往下看，人脸从面无表情慢慢变成了微笑。右边是生成的手写数字，从第一行向右看，数字从6慢慢变成了0，往下看，数字6慢慢变成了9，整个生成的图片都是渐变的。所以用VAE生成的图片可以有渐变的特性。
二、使用星系数据集实践VAE
这里我们想要生成星系的图片，但没有这样的公开数据集，所以我自己从网上爬取了一些星系的图片，经过筛选与处理，最后得到了600多张图片。600多张说实话确实太少了，但质量比较高的关于星系的图片比较少，网上爬取的图片很多也都是重复的。这里我们用这个星系数据集为例，能使模型work起来，结果看得过去就算成功。
我收集到的星系数据集的一些样例如下图所示：
星系本身是非常漂亮的~
下面是模型设计，这里我们使用全卷积网络（FCN）作为编码器，解码器结构与之对称。全卷积网络没有池化层，池化层使用带步长的卷积代替，这样可以让网络自己学习到合适的下采样策略。编码器encoder与解码器decoder的结构如表1和表2所示。编码器中有4层卷积，滤波器通道数目逐渐增加，已学到更丰富的特征。然后最后一层卷积的输出被展开成一维向量，分成两个支路，一个支路表示均值向量${\boldsymbol \mu}$，另一个支路表示$\log{\boldsymbol \sigma}^2$。这里设它们是4维的。对于解码器，基本上使编码器的对称。由于编码器中图像经过卷积后尺寸是慢慢变小的，在解码器中用上采用层将图片慢慢变大。而通道数目是逐渐减少的，将丰富的信息逐渐整合成RGB三通道的图像。最后一层的激活函数是tanh函数，值在-1和1之间，会将其线性变换至0到255之间的整数。整个网络的输入输出均为$256 \times 256 \times 3$的图像。
下面是代码部分，整个代码是基于keras实现的。
- 数据读取部分：这里使用keras的ImageDataGenerator，它将读取数据、生成mini-batch、预处理、数据增强等都结合在了一起，非常方便。
- 编码器部分：
- 潜在空间采样函数：
- 解码器部分：
- 损失函数，一般keras的损失函数的定义形式为loss(input, target)，但VAE的损失函数不符合这种形式，所以我们写一个自定义层，使用其内置的add_loss方法来创建自己想要的损失。
- 训练部分则是从ImageDataGenerator里获得mini-batch，用train_on_batch方法训练。这里batch size为64，一共训练10000轮。学习率设置为0.001，每100轮迭代减小一次学习率，优化器为Adam
最后是实验结果，下图是训练结束后生成的图像：
从上图中可以看出VAE已经学习到了星系相关的形状，从左上角向右看，形状由棒形变为不规则形状，向下看变为团状，颜色也是渐变的。不过缺点也是很明显的：不够清晰。这里有两个原因吧：第一是VAE生成图片的清晰度不如GAN，依靠对抗训练GAN可以获得高清晰度的图片。第二是数据量不够，只有600多张图片，模型能学习到的信息很有限，增加数据量可以进一步提高效果。
下一步的研究与工作：
1、 关于VAE的原理这里只是作了简单介绍，下一步会对VAE作详细的理论介绍
2、 在这个模型的基础上进一步想办法提高效果，尝试VAE的其他变种
3、增加数据量。希望对本项目和星系数据集感兴趣的小伙伴们，能收集更多的数据，在本项目的github地址上提交，一起来提升图片生成的质量~
本项目地址：https://github.com/5663015/galaxy_generation
参考资料：
[1] Kingma, D. P., & Welling, M. (2013). Auto-encoding variational bayes. arXiv preprint arXiv:1312.6114.
[2] 苏剑林. (2018, Mar 18). 《变分自编码器（一）：原来是这么一回事 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/5253